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By Dr. Donald E. Bourne, Prof. Peter C. Kendall (auth.)

Bücher über Vektoranalysis beginnen üblicherweise mit der Definition eines Vektors als Äquivalenzklasse gerichteter Strecken - oder weniger genau, als Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Diese Einführung ist wegen ihres einfach erscheinenden Konzeptes einprägsam, aber sie führt zu logischen Schwierigkeiten, die nur durch sorgfältiges Vorgehen gelöst werden können. Folgerichtig haben Studenten oft Probleme, die Anfänge der Vektoranalysis vollständig zu verstehen und verlieren schnell an Vertrauen. Eine andere Unzulänglichkeit ist es, daß bei der weiteren Entwicklung häufig auf die geometrische Anschauung zurückgegriffen wird und viel Sorgfalt nötig ist, um analytische Zusammenhänge nicht zu verwischen oder zu übersehen. So wird z. B. selten klar, daß bei der Definition des Gradienten eines Skalarfeldes, der Divergenz oder der Rotation eines Vektorfeldes vorausgesetzt werden muß, daß die Felder stetig differenzierbar sind und daß die bloße Existenz der partiellen Ableitungen erster Ordnung unzureichend ist. Der Einstieg in die Vektoranalysis, der in diesem Band gewählt wurde, basiert auf der Definition eines Vektors mit Hilfe rechtwinkliger kartesischer Komponenten, die bei einer Änderung der Achsen vorgegebene Transformationsgesetze erfüllen. Dieser Einstieg wurde seit 10 Jahren erfolgreich in Anfängervorlesungen für Mathematiker und andere Naturwissenschaftler benutzt und bietet einige Vorteile. Regeln zur Addition und Subtraktion von Vektoren, zur Berechnung des Skalar- und Vektor­ produktes und zum Differenzieren sind schnell greifbar und die Möglichkeit, Vektoren so einfach zu handhaben, gibt den Studenten unmittelbares Zutrauen. Der spätere Einstieg in die Theorie der Vektorfelder erscheint natürlich, da Gradient, Divergenz und Rotation in ihrer Koordinatenform definiert sind.

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Vektoranalysis

Bücher über Vektoranalysis beginnen üblicherweise mit der Definition eines Vektors als Äquivalenzklasse gerichteter Strecken - oder weniger genau, als Größe, die sowohl eine Richtung als auch eine Länge hat. Diese Einführung ist wegen ihres einfach erscheinenden Konzeptes einprägsam, aber sie führt zu logischen Schwierigkeiten, die nur durch sorgfältiges Vorgehen gelöst werden können.

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Sei t o < t, < t 2 ••• < t n-, < tn. Eine Kurve mit der Parameterdarstellung r=r(t) tO;$t:::s;t n heißt stückweise glatt, wenn 1. r (t) stetig im Intervall to ~ t:::s; t n ist, und 2. der Tangenteneinheitsvektor t im Intervall to:::S; t ;:;a t n stetig ist mit Ausnahme der Punkte t" t 2, ••• , tn-\o Eine stückweise glatte Kurve besteht also aus endlich vielen glatten Kurvenstücken, die aneinandergesetzt sind (Fig. 28 b). Einfache offene Kurven. Eine stückweise glatte Kurve r= r(t) to~ t~ tn heißt einfach und offen, wenn jeder Punkt auf ihr genau einem Wert von t entspricht.

Man zeige ja X b I 2 = a 2 b2 - (a . b)2. 45. Gegeben seien zwei Vektoren a und r durch den Ursprung. Man zeichne in ein Diagramm den Vektor (a X r) X a ein. Man weise nach, daß die Senkrechte vom Punkt mit dem Ortsvektor rauf a gegeben ist durch I a X r'2 / I (a X r) X a I . 46. Man zeige a X (b X (c X a» = (a . b) a Xc. 11. Gebundene Vektoren In der Mechanik ist mitunter der Angriffspunkt einer Kraft oder ihre Wir k u n g s 1i nie von Bedeutung; die Kraft zusammen mit ihrem Angriffspunkt oder ihrer Wirkungslinie wird dann auch ge b und e n e r V e k tor genannt.

J + a3 b 3 k . 15) dieses Ergebnis unmittelbar. RichtungskoeffIZienten von Vektoren. Der R ich tun g s koeffizient (oder Entwicklungskoeffizient) eines Vektors a in Richtung (oder entlang) eines Einheitsvektors 0 ist definiert als an = a' 0. 20) Ist ß der Winkel zwischen a und 0, so liefert die Entwicklung von a in Richtung 0 an = a . 0 = a I 0 I cos ß = a cos tt. Fig. 18 zeigt die geometrische Interpretation dazu. Der Richtungskoeffizient von a in Richtung 0 ist die Projektion von a auf fi (dabei wird fi verlängert, falls das notwendig ist).

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